Page 39 - Construction d’une géométrie en Relativité [ebook] v5-1
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Représentation complète de l’espace
dans le cas des référentiels accélérés
Afin de décrire non seulement l’espace mais aussi
le mouvement dans le changement de référentiel, il
faut transformer les lois de la mécanique de la même
façon que l’espace vectoriel a été transformé. Les lois
de la mécanique (équations différentielles) étant des
formes linéaires et appartenant donc au dual de l’espace
vectoriel, il convient de transformer le dual de la même
manière que l’espace vectoriel.
Il faut donc d’abord construire une base du dual,
puis la matrice de transformation est appliquée
simultanément à chaque vecteur de la base de l’espace
vectoriel et à chaque vecteur correspondant de la base
du dual.
La matrice de transformation est donc un tenseur.
Dans la représentation de l’espace que nous avons
construite, l’espace est décomposé en deux sous-espaces
vectoriels : le sous-espace réel et le sous-espace
supplémentaire.
Le sous-espace réel est le même que l’espace
vectoriel représenté dans le référentiel fixe Il possède
donc le même dual. Les lois de la mécanique sont
donc les mêmes dans ces deux espace et sous-espace
vectoriel.
Le sous-espace supplémentaire se déduit par le
produit d’une rotation et d’une homothétie d’une partie
du sous-espace réel. La même transformation doit donc
être appliquée au dual. La rotation ne change pas le dual.
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