Page 8 - Construction d’une géométrie en Relativité [ebook] v5-1
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Cette géométrie est particulière en ce que la norme Dans notre approche géométrique, nous avons voulu
définie dans un repère euclidien est instable : elle se transformer cette expression analytique par une
modifie lors d’un changement de référentiel si les deux expression trigonométrique. L’idée n’est pas entièrement
référentiels sont en mouvement relatif. Il en résulte des nouvelle puisque le développement théorique de
difficultés géométriques plus importantes si le référentiel MINKOWSKI repose sur une approche similaire. Mais
en mouvement est accéléré. L’isomorphisme existant MINKOWSKI fait appel à la trigonométrie hyperbolique.
entre l’espace, considéré comme espace vectoriel, et Nous avons fait appel à la trigonométrie circulaire par le
son dual contenant les lois de la mécanique considérées
comme des formes linéaires, est rompu. Pour rétablir changement de variable sin θ = avec 0 ≤ θ < .
cet isomorphisme, il faut transformer le dual de la même
manière que l’espace vectoriel, c’est à dire construire une
base du dual et utiliser le calcul tensoriel. Cet arsenal
mathématique est très lourd. Dans ces conditions, il vient = cos θ , ce qui
Les difficultés géométriques, liées à la rupture conduit à imaginer une rotation particulière d’angle θ .
de la norme euclidienne lors d’un changement de Pour ce faire, nous avons imaginé que l’espace, considéré
référentiel, sont liées au phénomène physique, comme espace vectoriel, est immergé dans un espace
parfaitement connu et vérifié, d’invariance de la vitesse vectoriel de dimension supérieure (tout ceci est
de la lumière. Si ce phénomène physique particulier développé dans la partie théorique qui suit) et nous y
n’existait pas il n’y aurait pas de rupture de la norme avons construit la rotation. L’espace apparaît alors
euclidienne dans un changement de référentiel. Les lois comme somme directe de deux sous-espaces vectoriels
de transformation permettant de passer du référentiel (sous-espaces vectoriels supplémentaires).
fixe dans le référentiel mobile se traduiraient par une
simple translation (transformation affine de rapport 1) Le premier de ces sous-espaces vectoriels est
et/ou par une rotation qui ne change que les axes. La identique à l’espace vectoriel contenu dans le référentiel
mécanique serait très proche de la mécanique classique, fixe (pour cette raison, nous l’avons appelé espace
la seule différence consistant, lors d’un changement de «réel»). Il correspond à ce que serait l’espace vectoriel
référentiel, dans une transformation affine de l’expression contenu dans le référentiel mobile si le phénomène
du temps (translation) de la forme : d’invariance de la vitesse de la lumière n’existait pas.
Le second sous-espace vectoriel est directement lié au
phénomène d’invariance de la vitesse de la lumière.
t’ = t -
Par ailleurs, cet espace vectoriel se déduit par une
avec t’ = temps dans le référentiel mobile, t = temps transformation linéaire (produit d’une rotation par
dans le référentiel fixe, v = vitesse relative du référentiel une homothétie) d’une partie de l’espace «réel». Nous
mobile, x = abscisse du point. l’avons appelé «espace supplémentaire». Les paramètres
y apparaissent avec un signe opposé à celui qu’ils ont
Le phénomène d’invariance de la vitesse de la dans l’espace «réel».
lumière est traduit mathématiquement par le radical
La représentation de l’espace apparaît ainsi sous
qui brise la norme euclidienne. une forme complètement géométrique dont l’étude fait
relativement peu appel au calcul analytique.
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