Page 14 - Construction d’une géométrie en Relativité [ebook] v5-1

Nous les étendons à l’espace complété.
R (O, x, y, z) Rc (O, x, y, z, x, y, z)

R’ (O’, x’, y’, z’) R’c (O’, x’, y’, z’, x’, y’, z’)

Nous disposons du produit scalaire dans l’espace
euclidien. C’est une forme bilinéaire symétrique, qui
peut être définie dans un espace vectoriel de dimension
quelconque. Sa forme quadratique permet de définir
l’orthogonalité, la norme et la distance :
Etendons le produit scalaire à Ec et E’c.

fig. 1 : Référentiels fixe et mobile Soient V et V deux vecteurs quelconques de Ec et
1
2
E’c. La condition d’orthogonalité se traduit par :
.
Les équations de transformation de LORENTZ V ⊥ V ⇔ V V = 0
s’écrivent : 1 2 1 2
La norme résulte de la forme quadratique :
_
x’ =
√
‖ V ‖ = ∑ ( x² ) , ( i = 1 , 6 ) ;
i
de plus : ‖ V ‖ = 0 ⇔ V = 0 (V = vecteur isotrope)
y’ = y
Nous pouvons définir l’angle de 2 vecteurs non nuls
à partir du produit scalaire : soient V et V deux vecteurs
z’ = z 1 2
non nuls, appartenant tous deux soit à Ec, soit à E’c,
l’angle θ entre ces 2 vecteurs est défini par :

t’ = cos θ =

Nous supposons donc les 6 axes de chacun des
repères Rc (O, x, y, z, x, y, z) et R’c (O’, x’, y’, z’, x’, y’, z’)
Nous allons compléter chacun des espaces réels E et orthogonaux et possédant une norme au sens du produit
E’, définis par les repères R(O,x,y,z) et R’(O’,x’,y’,z’) par scalaire, ce qui permet de définir des vecteurs unitaires
un espace supplémentaire. Les espaces complétés sont sur chacun des axes.
désignés par Ec et E’c . Pour ce faire, nous utilisons les Les repères Rc et R’c forment donc chacun une base
propriétés d’espace vectoriel de l’espace euclidien. orthonormale, respectivement dans Ec et E’c.

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